UPSC CSE Prelims
संख्या पद्धति Previous Year Questions (PYQs)
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$X$, $Y$ और $Z$ क्रमशः $4'$, $6'$ और $5'$ आगे कूदते हैं। सुबह 8 बजे, वे सभी चिह्न $199'$ पर उतरते हैं। चिह्न $195'$ और $1000'$ के बीच वे सभी कितनी बार एक ही चिह्न पर उतरेंगे (एक ही समय पर होना आवश्यक नहीं है), यदि वे सभी सुबह 9 बजे तक चिह्न $1000'$ को पार कर लेते हैं?
Detailed Explanation:
सुबह 8 बजे, तीनों चिह्न 199' पर हैं। चूंकि X 4', Y 6', और Z 5' कूदते हैं, वे सभी फिर से एक ही चिह्न पर तब उतरेंगे जब 199' से दूरी LCM(4, 6, 5) = 60' का गुणज हो।
सामान्य लैंडिंग चिह्न 199 + 60k हैं जहाँ k = 0, 1, 2, ... सीमा 195' < m < 1000' में, हमें मिलते हैं: 199, 259, 319, 379, 439, 499, 559, 619, 679, 739, 799, 859, 919, 979। अगला चिह्न (1039') 1000' से अधिक है।
अतः, k=0 से k=13 तक गिनने पर 14 सामान्य चिह्न मिलते हैं, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।
यदि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं, तो क्या $x$ सम है? कथन I: $x^2 y^2$ सम है। कथन II: $1 + x^2 + y^2$ विषम है।
Detailed Explanation:
हमें यह निर्धारित करना है कि क्या x सम है।
- कथन I (x²y² सम है): x या y में से कम से कम एक सम है, लेकिन x विषम (y सम) या सम (y विषम/सम) हो सकता है — अकेले अपर्याप्त।
- कथन II (1 + x² + y² विषम है): x² + y² सम होना चाहिए, इसलिए x और y की समानता समान है (दोनों सम या दोनों विषम) — अकेले अपर्याप्त।
- दोनों को मिलाकर: कम से कम एक सम है (कथन I) और दोनों की समानता समान है (कथन II) → x और y दोनों सम होने चाहिए।
- अतः, दोनों कथन एक साथ यह निर्धारित करते हैं कि x सम है, विकल्प 3 सही उत्तर है।
यदि $x$, $y$ और $z$ पूर्णांक हैं, प्रत्येक $1$ से बड़ा है, तो क्या $x$ एक अभाज्य संख्या है? कथन I: $xy^2 = 116$ कथन II: $xz = 261$
Detailed Explanation:
कथन I: $xy^2 = 116 = 2^2 \times 29$। चूंकि $y > 1$ एक पूर्णांक है, $y^2$ को $116$ का एक पूर्ण वर्ग भाजक होना चाहिए। ऐसा एकमात्र भाजक $4$ है, इसलिए $y^2 = 4$ और $y = 2$। अतः $x = 116/4 = 29$, जो अभाज्य है। कथन I अकेले पर्याप्त है।
कथन II: $xz = 261 = 3^2 \times 29$। $x$ के संभावित मान $3, 9, 29, 87$ हैं। चूंकि $x = 3$ या $29$ अभाज्य देता है, जबकि $x = 9$ या $87$ भाज्य देता है, हम निश्चित रूप से निर्धारित नहीं कर सकते। कथन II अकेले अपर्याप्त है।
अतः, प्रश्न का उत्तर केवल कथन I का उपयोग करके दिया जा सकता है लेकिन कथन II का उपयोग करके नहीं, विकल्प 1 सही उत्तर है।
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शब्द QUEUE के अक्षरों को फेरबदल करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं, यदि Q के बाद हमेशा U हो? इस प्रकार बने शब्दों का कोई अर्थ होना आवश्यक नहीं है।
Detailed Explanation:
शब्द QUEUE में अक्षर हैं: Q, U, E, U, E। चूंकि Q के बाद हमेशा U होना चाहिए, इसलिए QU को एक ब्लॉक मानें। शेष अक्षर हैं U, E, E।
अब हम 4 वस्तुओं: {QU, U, E, E} को व्यवस्थित करते हैं। चूंकि दोनों E समान हैं, व्यवस्थाओं की संख्या = 4!/2! = 24/2 = 12।
अतः, 12 शब्द बनाए जा सकते हैं, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।
यदि $10^m \times 1000 \times n = 75^{25} \times 25^{32} \times 32^{75}$, जहाँ $n$, $10$ से विभाज्य नहीं है, तो $m$ का मान है
Detailed Explanation:
दाहिनी ओर (RHS) का अभाज्य गुणनखंडन: $75^{25} = (3 \times 5^2)^{25} = 3^{25} \times 5^{50}$, $25^{32} = 5^{64}$, और $32^{75} = 2^{375}$। संयुक्त रूप: $2^{375} \times 3^{25} \times 5^{114}$।
10 की अधिकतम घात: चूँकि $10 = 2 \times 5$, सीमित कारक $\min(375, 114) = 114$ है। अतः, RHS = $10^{114} \times 2^{261} \times 3^{25}$, जहाँ $(2^{261} \times 3^{25})$, $10$ से विभाज्य नहीं है ($5$ का कोई गुणनखंड नहीं)।
बाईं ओर (LHS) की तुलना: $10^m \times 1000 \times n = 10^{m+3} \times n$। चूँकि $n$, $10$ से विभाज्य नहीं है, हम समीकरण करते हैं: $m + 3 = 114 \Rightarrow m = 111$।
अतः, m = 111, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
तीन चर $x$, $y$ और $z$ मान $2, 3, 4$ या $5$ लेते हैं इस प्रकार कि उनके मान हमेशा भिन्न होते हैं। यदि $M$ और $N$ क्रमशः व्यंजक ${(x \times y) + z}$ के सबसे बड़े संभव मान और सबसे छोटे संभव मान को दर्शाते हैं; तो $M - N$ है
Detailed Explanation:
$(x \times y) + z$ को अधिकतम करने के लिए, गुणनफल के लिए दो सबसे बड़े मान चुनें: $x = 5, y = 4$ से $5 \times 4 = 20$ मिलता है, और शेष सबसे बड़ा मान $z = 3$ लेने पर $M = 20 + 3 = 23$ मिलता है।
$(x \times y) + z$ को न्यूनतम करने के लिए, गुणनफल के लिए दो सबसे छोटे मान चुनें: $x = 2, y = 3$ से $2 \times 3 = 6$ मिलता है, और शेष सबसे छोटा मान $z = 4$ लेने पर $N = 6 + 4 = 10$ मिलता है।
अतः, $M - N = 23 - 10 = 13$, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर है।
यदि $x$ और $y$ दो अंक हैं और संख्या $4x5y790$, $11$ से विभाज्य है, तो $x+y$ को $11$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?
Detailed Explanation:
संख्या 4x5y790 के 11 से विभाज्य होने के लिए, एकांतर अंक योग नियम लागू करें: (दाएं से विषम स्थान के अंकों का योग) − (दाएं से सम स्थान के अंकों का योग) 11 से विभाज्य होना चाहिए।
विषम स्थान (दाएं से): 0, 7, 5, 4 → योग = 16। सम स्थान: 9, y, x → योग = x + y + 9। अतः, 16 − (x + y + 9) = 7 − (x + y) को 11 से विभाज्य होना चाहिए।
चूँकि x, y अंक हैं (0–9), x + y ∈ [0, 18], इसलिए 7 − (x + y) ∈ [−11, 7]। इस परास में 11 के गुणज केवल 0 और −11 हैं। यदि 7 − (x + y) = 0 → x + y = 7; यदि 7 − (x + y) = −11 → x + y = 18। दोनों मामलों में, (x + y) mod 11 = 7।
अतः, x + y को 11 से विभाजित करने पर शेषफल 7 है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।
एक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न पत्र में, एक सही उत्तर के लिए $5$ अंक दिए जाते हैं और एक गलत उत्तर के लिए $2$ अंक काट लिए जाते हैं। एक छात्र ने सभी प्रश्नों को हल किया और $69$ अंक प्राप्त किए। यदि उसे एक सही उत्तर के लिए $4$ अंक दिए जाते और एक गलत उत्तर के लिए $1$ अंक काटा जाता, तो उसे $84$ अंक मिलते। प्रश्न पत्र में कितने प्रश्न थे?
Detailed Explanation:
माना सही उत्तर = x, गलत उत्तर = y। पहली शर्त: 5x - 2y = 69। दूसरी शर्त: 4x - y = 84।
दूसरे समीकरण से, y = 4x - 84। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 5x - 2(4x - 84) = 69 → 5x - 8x + 168 = 69 → -3x = -99 → x = 33। अतः y = 132 - 84 = 48।
कुल प्रश्न = 33 + 48 = 81, अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
यदि दो भिन्न संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल उन संख्याओं में से एक का घन हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
I. संख्याओं का अंतर एक सम संख्या है। II. संख्याओं में से एक पूर्ण वर्ग है।
नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके उत्तर का चयन करें।
Detailed Explanation:
माना दो भिन्न संख्याएँ a और b हैं। HCF × LCM = a × b का उपयोग करते हुए, और दिया गया है कि यह गुणनफल एक संख्या के घन (मान लीजिए a³) के बराबर है: a × b = a³, अतः b = a²।
कथन I: अंतर = a² − a = a(a − 1), दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल, जो हमेशा सम होता है। ✓
कथन II: एक संख्या a² है, जो एक पूर्ण वर्ग है। ✓
अतः, कथन I और II दोनों सही हैं, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर है।
कितनी तीन-अंकीय संख्याओं को $2$ की पूर्णांक घात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?
Detailed Explanation:
तीन-अंकीय संख्याएं 100 से 999 तक होती हैं। हमें इस सीमा में 2 की पूर्णांक घातों को खोजना है।
गणना करें: 2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512 (सभी तीन-अंकीय)। 2⁶ = 64 (दो-अंकीय) और 2¹⁰ = 1024 (चार-अंकीय) इस सीमा से बाहर हैं।
अतः, ठीक 3 तीन-अंकीय संख्याएं (128, 256, 512) 2 की पूर्णांक घात हैं, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर है।
संख्या $6^{129} \times 7^{307}$ के इकाई स्थान का अंक है
Detailed Explanation:
6^129 का इकाई अंक: 6 की किसी भी घात का इकाई अंक हमेशा 6 होता है (क्योंकि 6×6=36, 36×6=216, आदि)। अतः इकाई अंक = 6।
7^307 का इकाई अंक: 7 की घातों का चक्र 4 के बाद दोहराता है: 7¹→7, 7²→9, 7³→3, 7⁴→1। 307 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल = 3। अतः इकाई अंक 7³ के समान = 3।
अंतिम इकाई अंक: 6 × 3 = 18, जिसका इकाई अंक 8 है।
अतः, इकाई अंक 8 है, जो विकल्प 3 को सही उत्तर बनाता है।
सभी दो-अंकीय धनात्मक पूर्णांकों में $5$ कितनी बार आता है?
Detailed Explanation:
दहाई के स्थान में अंक 5 की गणना करें: 50, 51, 52, …, 59 में आता है — यह 10 बार है।
इकाई के स्थान में अंक 5 की गणना करें: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 में आता है — यह 9 बार है।
अतः, कुल = 10 + 9 = 19, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
दो कंपनियों $A$ और $B$ में पुरुष और महिला कर्मचारियों का अनुपात क्रमशः $13 : 10$ और $7 : 5$ है। यदि दोनों कंपनियों में महिला कर्मचारियों की संख्या समान है, तो $A$ में कुल कर्मचारियों की संख्या का $B$ में कुल कर्मचारियों की संख्या से अनुपात क्या है?
Detailed Explanation:
कंपनी A में पुरुष : महिला = 13 : 10, और कंपनी B में पुरुष : महिला = 7 : 5। चूंकि दोनों कंपनियों में महिला कर्मचारियों की संख्या समान है, इसलिए महिला अनुपात भागों को बराबर करने के लिए B के अनुपात को 2 से गुणा करें → B बन जाता है 14 : 10।
अब दोनों कंपनियों में 10 इकाई महिला कर्मचारी हैं। A में कुल कर्मचारी = 13 + 10 = 23 इकाई; B में कुल कर्मचारी = 14 + 10 = 24 इकाई।
अतः, A में कुल कर्मचारियों का B से अनुपात 23 : 24 है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
संख्याओं के एक अनुक्रम में, पहली दो संख्याओं के अलावा प्रत्येक संख्या उसके ठीक पहले वाली दो संख्याओं का योग होती है। यदि अनुक्रम में पहली दो संख्याएँ 4 और 7 हैं, तो छठी संख्या है
Detailed Explanation:
यह एक फिबोनाची-जैसा अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद उसके पहले वाले दो पदों के योग के बराबर होता है।
a₁ = 4 और a₂ = 7 से शुरू करते हुए: a₃ = 4 + 7 = 11; a₄ = 7 + 11 = 18; a₅ = 11 + 18 = 29; a₆ = 18 + 29 = 47।
अतः, छठी संख्या 47 है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।
तीन प्रकार की आयताकार टाइलें हैं: 3'*3', 3'*7' और 3'*11'। इन टाइलों का उपयोग करके 3'*100' आयामों के आयताकार आकार के एक क्षेत्र को बिना तोड़े ढकना है। यदि x और y क्रमशः विभिन्न आकारों की टाइलों की अधिकतम और न्यूनतम संख्याएँ हैं जिनका उपयोग क्षेत्र को पूर्णतः ढकने के लिए किया जा सकता है, तो x - y है
Detailed Explanation:
क्षेत्र 3' × 100' को टाइलों 3' × 3', 3' × 7', और 3' × 11' से ढकना है। सभी टाइलों की चौड़ाई 3' है, इसलिए वे लंबाई के साथ फिट होती हैं, समीकरण 3a + 7b + 11c = 100 देती है।
अधिकतम टाइलें (x): सबसे छोटी टाइलों का उपयोग करें। 31 टाइलें 3' की से 93' मिलता है, 7' शेष बचता है जिसके लिए 1 टाइल 7' की। कुल = 32 टाइलें। न्यूनतम टाइलें (y): सबसे बड़ी टाइलों का उपयोग करें। 8 टाइलें 11' की से 88' मिलता है, 12' शेष बचता है जिसके लिए 4 टाइलें 3' की। कुल = 12 टाइलें।
अतः, x − y = 32 − 12 = 20, विकल्प 1 सही उत्तर है।
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