UPSC CSE Prelims
महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य Previous Year Questions (PYQs)
Practice solved questions for महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य with detailed step-by-step solutions, key insights, and trend analysis for UPSC CSE PRELIMS.
Solved Previous Year Questions
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$X$, $Y$ और $Z$ क्रमशः $4'$, $6'$ और $5'$ आगे कूदते हैं। सुबह 8 बजे, वे सभी चिह्न $199'$ पर उतरते हैं। चिह्न $195'$ और $1000'$ के बीच वे सभी कितनी बार एक ही चिह्न पर उतरेंगे (एक ही समय पर होना आवश्यक नहीं है), यदि वे सभी सुबह 9 बजे तक चिह्न $1000'$ को पार कर लेते हैं?
Detailed Explanation:
सुबह 8 बजे, तीनों चिह्न 199' पर हैं। चूंकि X 4', Y 6', और Z 5' कूदते हैं, वे सभी फिर से एक ही चिह्न पर तब उतरेंगे जब 199' से दूरी LCM(4, 6, 5) = 60' का गुणज हो।
सामान्य लैंडिंग चिह्न 199 + 60k हैं जहाँ k = 0, 1, 2, ... सीमा 195' < m < 1000' में, हमें मिलते हैं: 199, 259, 319, 379, 439, 499, 559, 619, 679, 739, 799, 859, 919, 979। अगला चिह्न (1039') 1000' से अधिक है।
अतः, k=0 से k=13 तक गिनने पर 14 सामान्य चिह्न मिलते हैं, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।
यदि $10^m \times 1000 \times n = 75^{25} \times 25^{32} \times 32^{75}$, जहाँ $n$, $10$ से विभाज्य नहीं है, तो $m$ का मान है
Detailed Explanation:
दाहिनी ओर (RHS) का अभाज्य गुणनखंडन: $75^{25} = (3 \times 5^2)^{25} = 3^{25} \times 5^{50}$, $25^{32} = 5^{64}$, और $32^{75} = 2^{375}$। संयुक्त रूप: $2^{375} \times 3^{25} \times 5^{114}$।
10 की अधिकतम घात: चूँकि $10 = 2 \times 5$, सीमित कारक $\min(375, 114) = 114$ है। अतः, RHS = $10^{114} \times 2^{261} \times 3^{25}$, जहाँ $(2^{261} \times 3^{25})$, $10$ से विभाज्य नहीं है ($5$ का कोई गुणनखंड नहीं)।
बाईं ओर (LHS) की तुलना: $10^m \times 1000 \times n = 10^{m+3} \times n$। चूँकि $n$, $10$ से विभाज्य नहीं है, हम समीकरण करते हैं: $m + 3 = 114 \Rightarrow m = 111$।
अतः, m = 111, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
यदि दो भिन्न संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल उन संख्याओं में से एक का घन हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सही है/हैं?
I. संख्याओं का अंतर एक सम संख्या है। II. संख्याओं में से एक पूर्ण वर्ग है।
नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके उत्तर का चयन करें।
Detailed Explanation:
माना दो भिन्न संख्याएँ a और b हैं। HCF × LCM = a × b का उपयोग करते हुए, और दिया गया है कि यह गुणनफल एक संख्या के घन (मान लीजिए a³) के बराबर है: a × b = a³, अतः b = a²।
कथन I: अंतर = a² − a = a(a − 1), दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल, जो हमेशा सम होता है। ✓
कथन II: एक संख्या a² है, जो एक पूर्ण वर्ग है। ✓
अतः, कथन I और II दोनों सही हैं, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर है।
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दो कंपनियों $A$ और $B$ में पुरुष और महिला कर्मचारियों का अनुपात क्रमशः $13 : 10$ और $7 : 5$ है। यदि दोनों कंपनियों में महिला कर्मचारियों की संख्या समान है, तो $A$ में कुल कर्मचारियों की संख्या का $B$ में कुल कर्मचारियों की संख्या से अनुपात क्या है?
Detailed Explanation:
कंपनी A में पुरुष : महिला = 13 : 10, और कंपनी B में पुरुष : महिला = 7 : 5। चूंकि दोनों कंपनियों में महिला कर्मचारियों की संख्या समान है, इसलिए महिला अनुपात भागों को बराबर करने के लिए B के अनुपात को 2 से गुणा करें → B बन जाता है 14 : 10।
अब दोनों कंपनियों में 10 इकाई महिला कर्मचारी हैं। A में कुल कर्मचारी = 13 + 10 = 23 इकाई; B में कुल कर्मचारी = 14 + 10 = 24 इकाई।
अतः, A में कुल कर्मचारियों का B से अनुपात 23 : 24 है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
तीन प्रकार की आयताकार टाइलें हैं: 3'*3', 3'*7' और 3'*11'। इन टाइलों का उपयोग करके 3'*100' आयामों के आयताकार आकार के एक क्षेत्र को बिना तोड़े ढकना है। यदि x और y क्रमशः विभिन्न आकारों की टाइलों की अधिकतम और न्यूनतम संख्याएँ हैं जिनका उपयोग क्षेत्र को पूर्णतः ढकने के लिए किया जा सकता है, तो x - y है
Detailed Explanation:
क्षेत्र 3' × 100' को टाइलों 3' × 3', 3' × 7', और 3' × 11' से ढकना है। सभी टाइलों की चौड़ाई 3' है, इसलिए वे लंबाई के साथ फिट होती हैं, समीकरण 3a + 7b + 11c = 100 देती है।
अधिकतम टाइलें (x): सबसे छोटी टाइलों का उपयोग करें। 31 टाइलें 3' की से 93' मिलता है, 7' शेष बचता है जिसके लिए 1 टाइल 7' की। कुल = 32 टाइलें। न्यूनतम टाइलें (y): सबसे बड़ी टाइलों का उपयोग करें। 8 टाइलें 11' की से 88' मिलता है, 12' शेष बचता है जिसके लिए 4 टाइलें 3' की। कुल = 12 टाइलें।
अतः, x − y = 32 − 12 = 20, विकल्प 1 सही उत्तर है।
$A$ एक 2-अंकीय संख्या है जिसके दोनों अंक भिन्न हैं। $B$ भी एक 2-अंकीय संख्या है और $A$ के अंकों को उलटकर प्राप्त की जाती है। यदि $A - B$, $27$ का एक गुणज है, जहाँ $A > B$, तो ऐसी कितनी भिन्न $A$ संभव हैं?
Detailed Explanation:
मान लीजिए A = 10a + b और B = 10b + a, जहाँ a और b अंक हैं तथा a ≠ b और b ≠ 0 (ताकि B दो-अंकीय रहे)।
A − B = 9(a − b)। यह 27 का गुणज होने के लिए, 9(a − b) को 27 से विभाज्य होना चाहिए, अतः (a − b) को 3 का गुणज होना चाहिए। चूँकि A > B, इसलिए a > b, संभावित अंतर: 3, 6, या 9।
a − b = 3 के लिए: युग्म (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), (9,6) = 6 संख्याएँ। a − b = 6 के लिए: युग्म (7,1), (8,2), (9,3) = 3 संख्याएँ। a − b = 9 के लिए: युग्म (9,0) अमान्य है क्योंकि B दो-अंकीय नहीं होगी। कुल = 6 + 3 = 9।
अतः, A के 9 भिन्न मान संभव हैं, जो विकल्प 2 को सही उत्तर बनाता है।
चार प्रकार के बाट हैं, अर्थात् $1$ kg, $2$ kg, $5$ kg और $10$ kg। $20$ kg को मापने के लिए अधिकतम कितने विभिन्न तरीके हो सकते हैं, यदि मापन करते समय कम से कम आठ लेकिन ग्यारह से अधिक नहीं $1$ kg के बाटों का उपयोग करना है?
Detailed Explanation:
हमें a + 2b + 5c + 10d = 20 चाहिए जहाँ a ∈ {8, 9, 10, 11} (1 kg बाट) और b, c, d ≥ 0 (2 kg, 5 kg, 10 kg बाट)।
स्थिति a = 8: 2b + 5c + 10d = 12 → (b,c,d) = (6,0,0), (1,2,0), (1,0,1) → 3 तरीके
स्थिति a = 9: 2b + 5c + 10d = 11 (विषम, अतः c विषम) → (b,c,d) = (3,1,0) → 1 तरीका
स्थिति a = 10: 2b + 5c + 10d = 10 → (b,c,d) = (5,0,0), (0,2,0), (0,0,1) → 3 तरीके
स्थिति a = 11: 2b + 5c + 10d = 9 (विषम, अतः c विषम) → (b,c,d) = (2,1,0) → 1 तरीका
अतः, कुल = 3 + 1 + 3 + 1 = 8, विकल्प 2 सही उत्तर है।
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Common questions about महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य in UPSC CSE PRELIMS