UPSC CSE Prelims
गुणनखंड एवं गुणज Previous Year Questions (PYQs)
Practice solved questions for गुणनखंड एवं गुणज with detailed step-by-step solutions, key insights, and trend analysis for UPSC CSE PRELIMS.
Solved Previous Year Questions
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यदि $x$, $y$ और $z$ पूर्णांक हैं, प्रत्येक $1$ से बड़ा है, तो क्या $x$ एक अभाज्य संख्या है? कथन I: $xy^2 = 116$ कथन II: $xz = 261$
Detailed Explanation:
कथन I: $xy^2 = 116 = 2^2 \times 29$। चूंकि $y > 1$ एक पूर्णांक है, $y^2$ को $116$ का एक पूर्ण वर्ग भाजक होना चाहिए। ऐसा एकमात्र भाजक $4$ है, इसलिए $y^2 = 4$ और $y = 2$। अतः $x = 116/4 = 29$, जो अभाज्य है। कथन I अकेले पर्याप्त है।
कथन II: $xz = 261 = 3^2 \times 29$। $x$ के संभावित मान $3, 9, 29, 87$ हैं। चूंकि $x = 3$ या $29$ अभाज्य देता है, जबकि $x = 9$ या $87$ भाज्य देता है, हम निश्चित रूप से निर्धारित नहीं कर सकते। कथन II अकेले अपर्याप्त है।
अतः, प्रश्न का उत्तर केवल कथन I का उपयोग करके दिया जा सकता है लेकिन कथन II का उपयोग करके नहीं, विकल्प 1 सही उत्तर है।
एक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न पत्र में, एक सही उत्तर के लिए $5$ अंक दिए जाते हैं और एक गलत उत्तर के लिए $2$ अंक काट लिए जाते हैं। एक छात्र ने सभी प्रश्नों को हल किया और $69$ अंक प्राप्त किए। यदि उसे एक सही उत्तर के लिए $4$ अंक दिए जाते और एक गलत उत्तर के लिए $1$ अंक काटा जाता, तो उसे $84$ अंक मिलते। प्रश्न पत्र में कितने प्रश्न थे?
Detailed Explanation:
माना सही उत्तर = x, गलत उत्तर = y। पहली शर्त: 5x - 2y = 69। दूसरी शर्त: 4x - y = 84।
दूसरे समीकरण से, y = 4x - 84। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 5x - 2(4x - 84) = 69 → 5x - 8x + 168 = 69 → -3x = -99 → x = 33। अतः y = 132 - 84 = 48।
कुल प्रश्न = 33 + 48 = 81, अतः विकल्प 2 सही उत्तर है।
संख्याओं के एक अनुक्रम में, पहली दो संख्याओं के अलावा प्रत्येक संख्या उसके ठीक पहले वाली दो संख्याओं का योग होती है। यदि अनुक्रम में पहली दो संख्याएँ 4 और 7 हैं, तो छठी संख्या है
Detailed Explanation:
यह एक फिबोनाची-जैसा अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक पद उसके पहले वाले दो पदों के योग के बराबर होता है।
a₁ = 4 और a₂ = 7 से शुरू करते हुए: a₃ = 4 + 7 = 11; a₄ = 7 + 11 = 18; a₅ = 11 + 18 = 29; a₆ = 18 + 29 = 47।
अतः, छठी संख्या 47 है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।
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$\frac{1}{3} < x < y < 2$ के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सदैव सही है/हैं? I. $x + \frac{1}{x} < y + \frac{1}{y}$ II. $\frac{\sqrt{1 + y^2}}{y} < \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}$ नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके उत्तर चुनिए।
Detailed Explanation:
कथन I: मान लें $f(t) = t + \frac{1}{t}$। इसका अवकलज $f'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ अंतराल $(0,1)$ पर ऋणात्मक और $(1,\infty)$ पर धनात्मक है। अतः $f(t)$ अंतराल $(\frac{1}{3}, 1)$ पर घटता है और $(1, 2)$ पर बढ़ता है—पूरे अंतराल में एकदिष्ट नहीं है।
प्रतिउदाहरण: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{4}$ लें। तब $x + \frac{1}{x} = 2.5$ परंतु $y + \frac{1}{y} \approx 2.08$। अतः $x + \frac{1}{x} > y + \frac{1}{y}$, जो कथन I का खंडन करता है।
कथन II: पुनर्लेखन करें $\frac{\sqrt{1+t^2}}{t} = \sqrt{\frac{1}{t^2} + 1}$। $t > 0$ के लिए, जैसे $t$ बढ़ता है, $\frac{1}{t^2}$ घटता है, जिससे $\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}$ सतत घटता है। चूंकि $x < y$, इसलिए $\frac{\sqrt{1+y^2}}{y} < \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$, जो पुष्टि करता है कि कथन II सदैव सत्य है।
अतः, केवल कथन II सही है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
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Frequently Asked Questions
Common questions about गुणनखंड एवं गुणज in UPSC CSE PRELIMS