Detailed Explanation:

कथन I: मान लें $f(t) = t + \frac{1}{t}$। इसका अवकलज $f'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ अंतराल $(0,1)$ पर ऋणात्मक और $(1,\infty)$ पर धनात्मक है। अतः $f(t)$ अंतराल $(\frac{1}{3}, 1)$ पर घटता है और $(1, 2)$ पर बढ़ता है—पूरे अंतराल में एकदिष्ट नहीं है।

प्रतिउदाहरण: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{4}$ लें। तब $x + \frac{1}{x} = 2.5$ परंतु $y + \frac{1}{y} \approx 2.08$। अतः $x + \frac{1}{x} > y + \frac{1}{y}$, जो कथन I का खंडन करता है।

कथन II: पुनर्लेखन करें $\frac{\sqrt{1+t^2}}{t} = \sqrt{\frac{1}{t^2} + 1}$। $t > 0$ के लिए, जैसे $t$ बढ़ता है, $\frac{1}{t^2}$ घटता है, जिससे $\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}$ सतत घटता है। चूंकि $x < y$, इसलिए $\frac{\sqrt{1+y^2}}{y} < \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$, जो पुष्टि करता है कि कथन II सदैव सत्य है।

अतः, केवल कथन II सही है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।