Detailed Explanation:

कथन I: $xy^2 = 116 = 2^2 \times 29$। चूंकि $y > 1$ एक पूर्णांक है, $y^2$ को $116$ का एक पूर्ण वर्ग भाजक होना चाहिए। ऐसा एकमात्र भाजक $4$ है, इसलिए $y^2 = 4$ और $y = 2$। अतः $x = 116/4 = 29$, जो अभाज्य है। कथन I अकेले पर्याप्त है।

कथन II: $xz = 261 = 3^2 \times 29$। $x$ के संभावित मान $3, 9, 29, 87$ हैं। चूंकि $x = 3$ या $29$ अभाज्य देता है, जबकि $x = 9$ या $87$ भाज्य देता है, हम निश्चित रूप से निर्धारित नहीं कर सकते। कथन II अकेले अपर्याप्त है।

अतः, प्रश्न का उत्तर केवल कथन I का उपयोग करके दिया जा सकता है लेकिन कथन II का उपयोग करके नहीं, विकल्प 1 सही उत्तर है।