यदि $10^m \times 1000 \times n = 75^{25} \times 25^{32} \times 32^{75}$, जहाँ $n$, $10$ से विभाज्य नहीं है, तो $m$ का मान है
Detailed Explanation:
दाहिनी ओर (RHS) का अभाज्य गुणनखंडन: $75^{25} = (3 \times 5^2)^{25} = 3^{25} \times 5^{50}$, $25^{32} = 5^{64}$, और $32^{75} = 2^{375}$। संयुक्त रूप: $2^{375} \times 3^{25} \times 5^{114}$।
10 की अधिकतम घात: चूँकि $10 = 2 \times 5$, सीमित कारक $\min(375, 114) = 114$ है। अतः, RHS = $10^{114} \times 2^{261} \times 3^{25}$, जहाँ $(2^{261} \times 3^{25})$, $10$ से विभाज्य नहीं है ($5$ का कोई गुणनखंड नहीं)।
बाईं ओर (LHS) की तुलना: $10^m \times 1000 \times n = 10^{m+3} \times n$। चूँकि $n$, $10$ से विभाज्य नहीं है, हम समीकरण करते हैं: $m + 3 = 114 \Rightarrow m = 111$।
अतः, m = 111, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
Question 2 of 7 महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य
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