UPSC CSE Prelims
संख्या पद्धति Previous Year Questions (PYQs)
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$A$ एक 2-अंकीय संख्या है जिसके दोनों अंक भिन्न हैं। $B$ भी एक 2-अंकीय संख्या है और $A$ के अंकों को उलटकर प्राप्त की जाती है। यदि $A - B$, $27$ का एक गुणज है, जहाँ $A > B$, तो ऐसी कितनी भिन्न $A$ संभव हैं?
Detailed Explanation:
मान लीजिए A = 10a + b और B = 10b + a, जहाँ a और b अंक हैं तथा a ≠ b और b ≠ 0 (ताकि B दो-अंकीय रहे)।
A − B = 9(a − b)। यह 27 का गुणज होने के लिए, 9(a − b) को 27 से विभाज्य होना चाहिए, अतः (a − b) को 3 का गुणज होना चाहिए। चूँकि A > B, इसलिए a > b, संभावित अंतर: 3, 6, या 9।
a − b = 3 के लिए: युग्म (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), (9,6) = 6 संख्याएँ। a − b = 6 के लिए: युग्म (7,1), (8,2), (9,3) = 3 संख्याएँ। a − b = 9 के लिए: युग्म (9,0) अमान्य है क्योंकि B दो-अंकीय नहीं होगी। कुल = 6 + 3 = 9।
अतः, A के 9 भिन्न मान संभव हैं, जो विकल्प 2 को सही उत्तर बनाता है।
$\frac{1}{3} < x < y < 2$ के लिए, निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सदैव सही है/हैं? I. $x + \frac{1}{x} < y + \frac{1}{y}$ II. $\frac{\sqrt{1 + y^2}}{y} < \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}$ नीचे दिए गए कूट का उपयोग करके उत्तर चुनिए।
Detailed Explanation:
कथन I: मान लें $f(t) = t + \frac{1}{t}$। इसका अवकलज $f'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}$ अंतराल $(0,1)$ पर ऋणात्मक और $(1,\infty)$ पर धनात्मक है। अतः $f(t)$ अंतराल $(\frac{1}{3}, 1)$ पर घटता है और $(1, 2)$ पर बढ़ता है—पूरे अंतराल में एकदिष्ट नहीं है।
प्रतिउदाहरण: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{4}$ लें। तब $x + \frac{1}{x} = 2.5$ परंतु $y + \frac{1}{y} \approx 2.08$। अतः $x + \frac{1}{x} > y + \frac{1}{y}$, जो कथन I का खंडन करता है।
कथन II: पुनर्लेखन करें $\frac{\sqrt{1+t^2}}{t} = \sqrt{\frac{1}{t^2} + 1}$। $t > 0$ के लिए, जैसे $t$ बढ़ता है, $\frac{1}{t^2}$ घटता है, जिससे $\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}$ सतत घटता है। चूंकि $x < y$, इसलिए $\frac{\sqrt{1+y^2}}{y} < \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$, जो पुष्टि करता है कि कथन II सदैव सत्य है।
अतः, केवल कथन II सही है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
एक परीक्षा में कक्षा का औसत x, 4 से बढ़ जाता है जब एक छात्र का स्कोर सुधारा जाता है, जिसका सही स्कोर 0 के स्थान पर 100 है। बाद में, एक अन्य छात्र का स्कोर 56 के स्थान पर 81 दर्ज पाया गया। यदि कोई अन्य सुधार नहीं है और अंतिम सुधारा गया औसत y है, तो y − x क्या है?
Detailed Explanation:
मान लें छात्रों की संख्या n है। जब एक छात्र का स्कोर 0 से 100 में सुधारा जाता है, तो कुल योग 100 से बढ़ता है और औसत 4 से बढ़ता है। अतः: 100/n = 4, इसलिए n = 25 छात्र।
दूसरा सुधार स्कोर को 81 से 56 में बदलता है, कुल योग 25 से घटता है। यह औसत को 25/25 = 1 से घटाता है।
पहले सुधार के बाद, औसत = x + 4। दूसरे सुधार के बाद, y = x + 4 − 1 = x + 3। अतः y − x = 3, इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है।
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चार प्रकार के बाट हैं, अर्थात् $1$ kg, $2$ kg, $5$ kg और $10$ kg। $20$ kg को मापने के लिए अधिकतम कितने विभिन्न तरीके हो सकते हैं, यदि मापन करते समय कम से कम आठ लेकिन ग्यारह से अधिक नहीं $1$ kg के बाटों का उपयोग करना है?
Detailed Explanation:
हमें a + 2b + 5c + 10d = 20 चाहिए जहाँ a ∈ {8, 9, 10, 11} (1 kg बाट) और b, c, d ≥ 0 (2 kg, 5 kg, 10 kg बाट)।
स्थिति a = 8: 2b + 5c + 10d = 12 → (b,c,d) = (6,0,0), (1,2,0), (1,0,1) → 3 तरीके
स्थिति a = 9: 2b + 5c + 10d = 11 (विषम, अतः c विषम) → (b,c,d) = (3,1,0) → 1 तरीका
स्थिति a = 10: 2b + 5c + 10d = 10 → (b,c,d) = (5,0,0), (0,2,0), (0,0,1) → 3 तरीके
स्थिति a = 11: 2b + 5c + 10d = 9 (विषम, अतः c विषम) → (b,c,d) = (2,1,0) → 1 तरीका
अतः, कुल = 3 + 1 + 3 + 1 = 8, विकल्प 2 सही उत्तर है।
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