UPSC CSE Prelims
संख्यात्मक प्रश्न Previous Year Questions (PYQs)
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Solved Previous Year Questions
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$X$ कुछ विषम संख्याओं का संग्रह है जबकि $Y$ कुछ सम संख्याओं का संग्रह है। $T$ में ऐसी संख्याएँ हैं जो या तो $X$ से हैं या $Y$ से हैं। क्या $T$ की प्रत्येक संख्या $Y$ से है? कथन I: $T$ से संबंधित किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है। कथन II: यदि $p$ और $q$ दोनों $T$ से चुने जाते हैं, तो $(p - 1)q$ सम है।
Detailed Explanation:
कथन I: T में किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है → सभी संख्याओं की समता समान है (सभी सम या सभी विषम)। उदाहरण: T = {2,4} (सभी Y से) या T = {1,3} (सभी X से)। अकेले अपर्याप्त।
कथन II: T से किन्हीं p,q के लिए (p-1)q सम है → तब संतुष्ट होता है जब सभी सम हों (q सम) या सभी विषम हों (p-1 सम)। उदाहरण: T = {2,4} या T = {1,3}। अकेले अपर्याप्त।
दोनों साथ: दोनों कथन T के पूर्णतः सम (प्रत्येक संख्या Y से) या पूर्णतः विषम (कोई संख्या Y से नहीं) होने की अनुमति देते हैं। निश्चित रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता।
अतः, किसी भी कथन का उपयोग करके भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता, इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है।
$X$ को विभिन्न मूल्यवर्ग के तीन सिक्के प्राप्त होते हैं: $1$, $2$, $5$, $10$ और $20$। यदि $X$ द्वारा प्राप्त कुल राशि $m$ है, तो क्या $X$ को मूल्यवर्ग $5$ का सिक्का प्राप्त होता है? कथन I: $m$ एक अभाज्य संख्या नहीं है। कथन II: $m$ के अंकों का योग $5$ से अधिक है।
Detailed Explanation:
तीन विभिन्न सिक्कों के सभी संभावित संयोजन: 1+2+5=8, 1+2+10=13, 1+2+20=23, 1+5+10=16, 1+5+20=26, 1+10+20=31, 2+5+10=17, 2+5+20=27, 2+10+20=32, 5+10+20=35।
कथन I: अभाज्य संख्याएँ 8, 16, 26, 27, 32, 35 हैं—इनमें 32 (2+10+20) शामिल है जिसमें मूल्यवर्ग 5 नहीं है, अतः अपर्याप्त। कथन II: अंकों का योग >5 वाले मान 8, 16, 17, 26, 27, 35 हैं—सभी में मूल्यवर्ग 5 शामिल है, अतः पर्याप्त।
अतः, केवल कथन II प्रश्न का उत्तर देता है लेकिन कथन I नहीं, विकल्प 1 सही उत्तर है।
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