UPSC CSE Prelims
आंकड़ा पर्याप्तता Previous Year Questions (PYQs)
Showing solved Previous Year Questions for Chapter: आंकड़ा पर्याप्तता
Topic Breakdown: Scroll →
$X$ कुछ विषम संख्याओं का संग्रह है जबकि $Y$ कुछ सम संख्याओं का संग्रह है। $T$ में ऐसी संख्याएँ हैं जो या तो $X$ से हैं या $Y$ से हैं। क्या $T$ की प्रत्येक संख्या $Y$ से है? कथन I: $T$ से संबंधित किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है। कथन II: यदि $p$ और $q$ दोनों $T$ से चुने जाते हैं, तो $(p - 1)q$ सम है।
Detailed Explanation:
कथन I: T में किन्हीं दो संख्याओं का योग सम है → सभी संख्याओं की समता समान है (सभी सम या सभी विषम)। उदाहरण: T = {2,4} (सभी Y से) या T = {1,3} (सभी X से)। अकेले अपर्याप्त।
कथन II: T से किन्हीं p,q के लिए (p-1)q सम है → तब संतुष्ट होता है जब सभी सम हों (q सम) या सभी विषम हों (p-1 सम)। उदाहरण: T = {2,4} या T = {1,3}। अकेले अपर्याप्त।
दोनों साथ: दोनों कथन T के पूर्णतः सम (प्रत्येक संख्या Y से) या पूर्णतः विषम (कोई संख्या Y से नहीं) होने की अनुमति देते हैं। निश्चित रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता।
अतः, किसी भी कथन का उपयोग करके भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता, इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है।
$X$ को विभिन्न मूल्यवर्ग के तीन सिक्के प्राप्त होते हैं: $1$, $2$, $5$, $10$ और $20$। यदि $X$ द्वारा प्राप्त कुल राशि $m$ है, तो क्या $X$ को मूल्यवर्ग $5$ का सिक्का प्राप्त होता है? कथन I: $m$ एक अभाज्य संख्या नहीं है। कथन II: $m$ के अंकों का योग $5$ से अधिक है।
Detailed Explanation:
तीन विभिन्न सिक्कों के सभी संभावित संयोजन: 1+2+5=8, 1+2+10=13, 1+2+20=23, 1+5+10=16, 1+5+20=26, 1+10+20=31, 2+5+10=17, 2+5+20=27, 2+10+20=32, 5+10+20=35।
कथन I: अभाज्य संख्याएँ 8, 16, 26, 27, 32, 35 हैं—इनमें 32 (2+10+20) शामिल है जिसमें मूल्यवर्ग 5 नहीं है, अतः अपर्याप्त। कथन II: अंकों का योग >5 वाले मान 8, 16, 17, 26, 27, 35 हैं—सभी में मूल्यवर्ग 5 शामिल है, अतः पर्याप्त।
अतः, केवल कथन II प्रश्न का उत्तर देता है लेकिन कथन I नहीं, विकल्प 1 सही उत्तर है।
दो भिन्न वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए, उनमें से कौन बड़ा है? कथन I : $x^2 < y < 1$ कथन II : $y < \sqrt{x} < 1$
Detailed Explanation:
कथन I अकेले: x² < y < 1 से y, x² और 1 के बीच कहीं भी हो सकता है। x = 0.5 के लिए, y = 0.3 देता है x > y; x = 0.5 के लिए, y = 0.9 देता है y > x। अपर्याप्त।
कथन II अकेले: y < √x < 1 से x ∈ (0,1) आवश्यक है लेकिन संबंध निश्चित नहीं होता। x = 0.25, y = 0.4 के लिए y > x; x = 0.81, y = 0.1 के लिए x > y। अपर्याप्त।
दोनों एक साथ: x² < y < √x जहाँ x ∈ (0,1)। चूंकि x ∈ (0,1) के लिए x² < x < √x होता है, y अभी भी x के दोनों ओर हो सकता है। उदाहरण: x = 0.25, y = 0.1 → x > y; x = 0.25, y = 0.4 → y > x। दोनों शर्तें पूरी होती हैं लेकिन संबंध अस्पष्ट रहता है।
अतः, दोनों कथनों का उपयोग करके भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता, इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है।
🧐 Not Sure What to Study Next?
Get a personalised study plan based on your goals, time and revision needs.
एक मेज का शीर्ष आयताकार है और इसकी विमाएँ $6' \times 10'$ हैं। मेज के शीर्ष के दो आयताकार भागों को नीले रंग से रंगा गया है; इन दोनों भागों की विमाएँ $2.5' \times 8'$ हैं और उनमें से प्रत्येक की मेज के शीर्ष के किनारों के साथ ठीक दो भुजाएँ समान हैं। यदि मेज जमीन पर स्थिर है और मेज के शीर्ष का शेष भाग सफेद रंग से रंगा गया है, तो ऊपर से देखने पर कितने विभिन्न पैटर्न संभव हैं?
Detailed Explanation:
मेज 6' × 10' (स्थिर अभिविन्यास) है। प्रत्येक नीला आयत 2.5' × 8' है और मेज के किनारों के साथ ठीक दो भुजाएँ समान हैं—अर्थात् प्रत्येक नीला आयत एक कोने में होना चाहिए। 8' भुजा को 10' किनारे के साथ और 2.5' भुजा को 6' किनारे के साथ संरेखित होना चाहिए।
4 कोने की स्थितियाँ हैं। चूंकि दो नीले आयत रखे गए हैं, हम वैध गैर-अतिव्यापी जोड़ों का मूल्यांकन करते हैं: समान लंबी/छोटी भुजा पर आसन्न कोने अतिव्यापी होते हैं (नीचे-बाएं + नीचे-दाएं, या ऊपर-बाएं + ऊपर-दाएं)। विपरीत या विकर्ण कोने की जोड़ियाँ अतिव्यापी नहीं होतीं: (नीचे-बाएं + ऊपर-बाएं), (नीचे-दाएं + ऊपर-दाएं), (नीचे-बाएं + ऊपर-दाएं), (नीचे-दाएं + ऊपर-बाएं)।
अतः, 4 विशिष्ट गैर-अतिव्यापी पैटर्न संभव हैं, जो विकल्प 2 को सही उत्तर बनाता है।