UPSC CSE Prelims
अंकगणित Previous Year Questions (PYQs)
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दो ऐसे रसायन हैं जो एक-दूसरे से अभिक्रिया नहीं करते हैं। एक कंटेनर में रसायन $A$ के $10$ लीटर हैं। इसमें से इस रसायन का एक लीटर निकाला जाता है और रसायन $B$ का एक लीटर डाला जाता है। फिर कंटेनर से मिश्रण का एक लीटर निकाला जाता है और $B$ का एक लीटर डाला जाता है। यदि मिश्रण के एक लीटर को $B$ के एक लीटर से बदलने की इस प्रक्रिया को एक बार और किया जाता है, तो कंटेनर में उपस्थित $B$ का आयतन लगभग कितना है (प्रतिशत में)?
Detailed Explanation:
प्रत्येक बार 10 लीटर से 1 लीटर प्रतिस्थापन के बाद, रसायन A का शेष अंश (9/10) होता है। 3 प्रतिस्थापन के बाद, A की शेष मात्रा है: 10 × (9/10)³ = 10 × 729/1000 = 7.29 लीटर।
चूंकि कुल आयतन 10 लीटर रहता है, इसलिए रसायन B = 10 – 7.29 = 2.71 लीटर, जो 27.1% ≈ 27% है।
अतः, B का आयतन लगभग 27% है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
एक ट्रेन $T$ की गति $100$ किमी प्रति घंटा है और एक व्यक्ति $P$ की गति $4$ किमी प्रति घंटा है। यदि $P$, $T$ की गति की दिशा में यात्रा करता है, तो $T$, $P$ को $15$ सेकंड में पार करती है। यदि $P$, $T$ की विपरीत दिशा में यात्रा करता है, तो $T$, $P$ को लगभग कितने समय (सेकंड में) में पार करेगी?
Detailed Explanation:
समान दिशा में पार करना: सापेक्ष गति = 100 - 4 = 96 किमी/घंटा = 80/3 मी/से। ट्रेन की लंबाई L = (80/3) × 15 = 400 मी।
विपरीत दिशा में पार करना: सापेक्ष गति = 100 + 4 = 104 किमी/घंटा = 260/9 मी/से। समय = 400 ÷ (260/9) = 3600/260 ≈ 13.846 सेकंड।
अतः, ट्रेन लगभग 13.85 सेकंड में पार करती है, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर है।
तीन साझेदार $A$, $B$ और $C$ ने एक व्यवसाय में प्रवेश किया। $A$ ने पूंजी के एक-तिहाई का निवेश एक-तिहाई अवधि के लिए किया। $B$ ने पूंजी के एक-चौथाई का निवेश एक-चौथाई अवधि के लिए किया। $C$ ने शेष पूंजी का निवेश पूरी अवधि के लिए किया। ₹ $17,000$ के लाभ में से $C$ को कितना लाभ मिलेगा?
Detailed Explanation:
साझेदारी में लाभ बँटवारा = पूंजी × समय। माना कुल पूंजी = K, कुल अवधि = T।
A का हिस्सा: (K/3) × (T/3) = KT/9 | B का हिस्सा: (K/4) × (T/4) = KT/16 | C का हिस्सा: [K - K/3 - K/4] × T = (5K/12) × T = 5KT/12।
अनुपात A : B : C = 1/9 : 1/16 : 5/12। LCM(9,16,12) = 144 से गुणा करने पर → 16 : 9 : 60। कुल भाग = 85।
C का लाभ = (60/85) × 17,000 = 60 × 200 = ₹12,000। अतः, विकल्प 1 सही उत्तर है।
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मान लीजिए कि $x$, $y$ और $z$ चर हैं जो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ लेते हैं। यह दिया गया है कि $y$ सीधे $x^2$ के समानुपाती है और $x$ व्युत्क्रमानुपाती रूप से $z$ के समानुपाती है। $z = \frac{7}{25}$ के लिए, $x$ और $y$ के मान क्रमशः $5$ और $50$ हैं। यदि $y = 98$ है, तो $z$ किसके बराबर है?
Detailed Explanation:
दिया गया है: $y \propto x^2 \Rightarrow y = kx^2$ और $x \propto \frac{1}{z} \Rightarrow xz = c$ (नियतांक)।
$z = \frac{7}{25}, x = 5, y = 50$ का उपयोग करते हुए: $y = kx^2$ से, हमें $50 = k(25) \Rightarrow k = 2$ मिलता है। $xz = c$ से, हमें $c = 5 \times \frac{7}{25} = \frac{7}{5}$ मिलता है। अतः $y = 2x^2$ और $xz = \frac{7}{5}$।
जब $y = 98$: $2x^2 = 98 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x = 7$। इस प्रकार $z = \frac{c}{x} = \frac{7/5}{7} = \frac{1}{5}$।
अतः, z का मान $\frac{1}{5}$ है, जो विकल्प 2 को सही उत्तर बनाता है।
एक सेना शिविर से एक निश्चित दूरी पर एक विस्फोट होता है। जैसे ही शिविर में सेंसर विस्फोट की ध्वनि प्राप्त करता है, एक ड्रोन विस्फोट स्थल की ओर उड़ना शुरू करता है। ड्रोन उस स्थल से एक तस्वीर क्लिक करता है और शिविर इसे उसी समय प्राप्त करता है। तुरंत एक अन्य ड्रोन उस स्थल की ओर उड़ना शुरू करता है और यह भी जैसे ही स्थल पर पहुंचता है एक तस्वीर भेजता है। दोनों तस्वीरें क्रमशः 5:02 PM और 5:05 PM पर प्राप्त हुईं। यदि ड्रोन की गति 30 m/s है, तो विस्फोट किस समय हुआ? मान लें कि ध्वनि की गति 300 m/s है।
Detailed Explanation:
दूसरा ड्रोन 5:02 PM पर निकलता है (जब पहली तस्वीर आती है) और 5:05 PM पर पहुंचता है, यानी 180 सेकंड लगते हैं। 30 m/s की गति से, दूरी d = 5400 m।
5:02 PM से पीछे की ओर गणना करें: ध्वनि ने शिविर तक पहुंचने में 5400/300 = 18 s लिए, फिर पहले ड्रोन ने स्थल तक पहुंचने में 5400/30 = 180 s लिए। कुल समय = 198 s = 3 मिनट 18 सेकंड।
अतः, विस्फोट 5:02:00 − 3:18 = 4:58:42 PM पर हुआ, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर है।
यदि मापक सिलिंडरों की क्षमता $1$ लीटर, $6$ लीटर, $25$ लीटर और $100$ लीटर है, तो एक टैंक से $298$ लीटर पानी प्राप्त करने के लिए कम से कम कितनी बार मापना होगा?
Detailed Explanation:
लक्ष्य = 298 लीटर। इष्टतम रणनीति: बड़े सिलिंडरों से अधिक भरें, फिर अतिरिक्त घटाएं।
3 × 100 = 300 लीटर निकालें (3 माप)। अतिरिक्त = 300 − 298 = 2 लीटर। वापस डालें 2 × 1 लीटर = 2 लीटर (2 माप)। कुल = 3 + 2 = 5 माप।
केवल जोड़ने की विधि में 13 माप चाहिए: 2×100 + 3×25 + 3×6 + 5×1। 4 माप से 299 या 294 लीटर मिलता है, ठीक 298 नहीं।
अतः, न्यूनतम 5 माप हैं, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
$X$ और $Y$ दो धावक हैं जो एक ही वृत्ताकार ट्रैक पर समान अवधि के लिए दौड़ते हैं। उन्होंने एक ही समय पर एक ही दिशा में समान गति से दौड़ना शुरू किया। जब $X$ ने $7$ चक्कर पूरे किए, तो $Y$ ने ठीक $5$ चक्कर पूरे किए। $5$ चक्कर पूरे करने के बाद, $Y$ ने अपनी दिशा बदल दी और विपरीत दिशा में अपनी पहले की गति से दोगुनी गति से दौड़ना शुरू कर दिया। दूसरी ओर, $X$ समान गति से दौड़ता रहा। उन्होंने दौड़ना तब बंद किया जब $X$ ने ठीक $21$ चक्कर पूरे कर लिए। दौड़ना शुरू करने के बाद और अंत में रुकने से पहले $X$ और $Y$ कितनी बार मिले?
Detailed Explanation:
चरण 1 (समान दिशा): जब X 7 चक्कर पूरे करता है, तो Y 5 चक्कर पूरे करता है समय T में। गति अनुपात 7:5 है। सापेक्ष गति = 7 − 5 = 2 चक्कर/T। समय T में, वे 2 बार मिलते हैं (t = 0.5T और t = T पर)।
चरण 2 (विपरीत दिशा): Y के 5 चक्कर पूरे करने के बाद, वह दिशा बदलता है और अपनी गति दोगुनी करके 10 चक्कर/T कर लेता है। X जारी रखता है 7 चक्कर/T पर। सापेक्ष गति = 7 + 10 = 17 चक्कर/T। X दौड़ता है 21 − 7 = 14 और चक्कर समय 2T में। चरण 2 में मुलाकातें = 17 × 2 = 34 बार।
अतः, शुरुआत के बाद और अंतिम रुकने से पहले कुल मुलाकातें = 2 + 33 = 35 (अंतिम रुकने पर मुलाकात को छोड़कर), विकल्प 1 सही उत्तर है।
एक व्यक्ति प्रति माह अपने वेतन का 10% बचाता है। यदि उसका वेतन 12% बढ़ जाता है और व्यय 10% बढ़ जाता है, तो उसकी मासिक बचत में क्या परिवर्तन होगा?
Detailed Explanation:
मान लें प्रारंभिक वेतन = ₹100। प्रारंभिक बचत = 10% = ₹10; प्रारंभिक व्यय = ₹90।
नया वेतन = 100 + 12% = ₹112। नया व्यय = 90 + 10% = ₹99। नई बचत = 112 − 99 = ₹13।
बचत में वृद्धि = 13 − 10 = ₹3। प्रतिशत वृद्धि = (3/10) × 100 = 30%।
अतः, बचत में 30% वृद्धि होती है, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।
एक मिश्रधातु $P$ में भार के अनुसार $20%$ तांबा और $80%$ जस्ता है। एक अन्य मिश्रधातु $Q$ में भार के अनुसार $60%$ तांबा और $40%$ जस्ता है। एक तीसरी मिश्रधातु $R$ को $P$ और $Q$ से इस प्रकार तैयार किया जाना है कि इसमें तांबे और जस्ते की समान मात्रा हो। $R$ प्राप्त करने के लिए $P$ और $Q$ की मात्राओं को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए?
Detailed Explanation:
मिश्रण विधि का उपयोग करें: P में तांबा = 20%, Q में = 60%, R में वांछित = 50% (तांबा और जस्ता समान)।
P और Q का अनुपात = (60 - 50) : (50 - 20) = 10 : 30 = 1 : 3।
अतः, P और Q को 1:3 के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए, जिससे विकल्प 1 सही उत्तर है।
एक ट्रेन को 800 किमी की यात्रा पूरी करनी है। यदि उसे कोई छोटी दुर्घटना होती है, तो उसकी गति मौजूदा गति की आधी हो जाती है। यदि कोई यांत्रिक खराबी होती है, तो गति मौजूदा गति की एक-चौथाई हो जाती है। रास्ते में, ट्रेन को 200 किमी के बाद एक छोटी दुर्घटना होती है; और उसके 400 किमी बाद, उसमें यांत्रिक खराबी आ जाती है। यदि ट्रेन में यांत्रिक खराबी 200 किमी के बाद आई होती और छोटी दुर्घटना उसके 400 किमी बाद हुई होती, तो उसे अपने गंतव्य तक पहुँचने में 4 घंटे अधिक लगते। ट्रेन की मूल गति किमी प्रति घंटे में क्या थी?
Detailed Explanation:
माना मूल गति v किमी/घंटा है। यात्रा 800 किमी है जो खंडों में विभाजित है: 0–200 किमी, 200–600 किमी, 600–800 किमी। गति में कमी मौजूदा (वर्तमान) गति पर लागू होती है।
स्थिति 1: 200 किमी पर छोटी दुर्घटना (गति → v/2), 600 किमी पर यांत्रिक खराबी (गति → v/2 × 1/4 = v/8)। समय = 200/v + 400/(v/2) + 200/(v/8) = 200/v + 800/v + 1600/v = 2600/v घंटे।
स्थिति 2: 200 किमी पर यांत्रिक खराबी (गति → v/4), 600 किमी पर छोटी दुर्घटना (गति → v/4 × 1/2 = v/8)। समय = 200/v + 400/(v/4) + 200/(v/8) = 200/v + 1600/v + 1600/v = 3400/v घंटे।
दिया गया: स्थिति 2 में 4 घंटे अधिक लगते हैं। अतः, 3400/v - 2600/v = 4 → 800/v = 4 → v = 200 किमी/घंटा।
अतः, मूल गति 200 किमी/घंटा थी, जो विकल्प 1 को सही उत्तर बनाता है।
X साइकिल पर 6 किमी की यात्रा करता है जिसमें पहले 1 किमी, अगले 2 किमी और शेष 3 किमी में औसत गति क्रमशः 5 किमी प्रति घंटा, 10 किमी प्रति घंटा और 4 किमी प्रति घंटा है। Y समान दूरियों को क्रमशः 4 किमी प्रति घंटा, 10 किमी प्रति घंटा और 5 किमी प्रति घंटा की औसत गति से तय करता है। यदि X और Y दोनों एक ही समय पर शुरू करते हैं, तो Y यात्रा कितने मिनट पहले पूरी करेगा?
Detailed Explanation:
X की यात्रा: समय = 1/5 + 2/10 + 3/4 = 0.2 + 0.2 + 0.75 = 1.15 घंटे = 69 मिनट।
Y की यात्रा: समय = 1/4 + 2/10 + 3/5 = 0.25 + 0.2 + 0.6 = 1.05 घंटे = 63 मिनट।
अतः, Y यात्रा को 69 - 63 = 6 मिनट पहले पूरा करता है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर है।