Detailed Explanation:

इल्तुतमिश (1211–1236) पहले दिल्ली सुल्तान थे जिन्हें 1229 में बगदाद के अब्बासी खलीफा से औपचारिक मान्यता मिली, जिससे उनका साम्राज्य आधिकारिक रूप से दार-उल-इस्लाम (इस्लाम का निवास) का हिस्सा बन गया।

इस खलीफाई मंशूर (अधिकार पत्र) ने इस्लामी दुनिया में उनके शासन को वैधता प्रदान की और दिल्ली सल्तनत को एक मान्यता प्राप्त इस्लामी राज्य के रूप में स्थापित किया। रज़िया, नासिर-उद-दीन और बलबन को ऐसी स्पष्ट खलीफाई मान्यता नहीं मिली।

अतः, इल्तुतमिश के साम्राज्य को दार-उल-इस्लाम का हिस्सा माना जाता था, जिससे विकल्प 2 सही उत्तर है।